Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

 P(x) = a_n xⁿ + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a₁ x¹ + a₀

Siendo a_n, a_{n -1} ... a₁ , a_o números, llamados coeficientes.

• n un número natural.
• x la variable o indeterminada.
• a_n es el coeficiente principal.
• a_o es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Ejemplo: Segundo grado 

P(x) = 2x² + 3x + 2

Suma y resta

Ordenamos los polinomios, si no lo están.

(2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

Agrupamos los monomios del mismo grado.

2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

Sumamos los monomios semejantes.

4x³ − 3x² + 9x − 3 

La resta es igual que la suma, pero sumando el opuesto.

Producto

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

(2x² − 3) • (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x 

Se suman los monomios del mismo grado.

 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Cociente

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo.


Ejemplo:

 
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² + 2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x=

= x⁴− 2x³ + 3x² − 2x + 1

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3) · x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6